Liftez Les Sylows! Une Suite À "Sous-Groupes Périodiques D'Un Groupe Stable"

If G is an omega-stable group with a normal definable subgroup H , then the Sylow-2-subgroups of G/H are the images of the Sylow-2-subgroups of G. Zusammenfassung. Sei G eine omega-stabile Gruppe und H ein definierbarer Normalteiler von G. Dann sind die Sylow-2-Untergruppen von G/H Bilder der Sylow-2-Untergruppen von G. Si H est un sous-groupe normal d’un groupe fini G, les p-sylows de G/H sont les images des p-sylows de G ; c’est une conséquence directe de la conjugaison des sylows, et du fait que l’ordre d’un sylow est la puissance maximale de p divisant l’ordre du groupe ambiant. Nous généralisons ici cette propriété au cas où H est définissable, p = 2, et G est oméga-stable, ou même seulement stable et menu, ou bien est stable et périodique; ou encore si H est toujours définissable, p premier quelconque, mais G stable et résoluble par fini. Ces hypothèses nous ont permis dans [3] de montrer que les sylows de G (comme ceux de G/H !) sont localement finis et conjugués. Si nous renonçons à la seconde hypothèse du Théorème 14 (ii) de cet article, c’est que nous n’allons pas jusqu’à prétendre que Z/2Z se relève en un 2-sylow de Z! Nous faisons parâıtre cette note par remord de n’avoir pas fait cette remarque alors (elle attire l’attention sur la difficulté de la démonstration du Théorème 14(ii) !), et aussi parce que ce résultat simple fait défaut dans un manuel sur le sujet comme [1]. Les cardinaux infinis manquant de valuation p-adique, nous procédons de manière fort différente en commençant par relever les p-groupes nilpotents. Nous montrons tout d’abord que si G/H lui-même est un p-groupe d’exposant fini, il se relève sur n’importe quel sylow S de G. En effet, nous savons qu’alors G/H est nilpotent; soit H1 le centre de G modulo H : c’est également un groupe définissable. Nos hypothèses impliquent que tout élément de G/H se relève en un p-élément de G: il suffit de voir que tout élément g de G est congru modulo H à un élément d’ordre fini; c’est évident dans le cas périodique; dans le cas menu, cela vient de ce que g est contenu dans un groupe abélien définissable A, et que A∩H se décompose en un groupe divisible et un groupe d’exposant fini [3, Research at MSRI is supported in part by NSF grant DMS-9701755. 1 La unua geskribisto varmege dankas pro la gia gastemo la Instituton de Sercado de Matematikaj Sciencoj (MSRI) de la urbo Berkeley, en kiu estis prilabora tiu artikoleto en la monato januaro de jaro mil nau cent nau dek ok post la naskigo Krista. 2 Heisenberg-Stipendiat der Deutschen Forschungsgemeinschaft (Wa 899/2-1).